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本着扯南山盖北海这个宗旨，俺这里和广大诗人们或者散文好手一起复习一下初等数论，大约是小学或者初中的内容。当然谁如果想系统地学习初等数论，华罗庚前辈的“初等数论导引”是本很不错的教材。
i） 素数（质数）：给定一个自然数，除了 1 和它本身外，它不能被任何数整除，例如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。古希腊时期大伙儿就能轻而易举地证明素数的个数是无穷的。事实上很容易证明，不超过 N 的素数的个数大约是 N/logN （这里的 log 表示自然对数，也就是基底为 e = 2.718281828459045... 的对数。俺只背得小数点后这么多位了，呵呵）。任何一个大于等于4的偶数都可以表示为两个素数的和，这就是哥德巴赫猜想。有人开玩笑说，歌德本是个大诗人，巴赫是个大音乐家，他们的数学够差劲的，但出乎意料的是，这两位诗人/音乐家居然不务正业，偷偷合作弄出了个哥德巴赫猜想，让后来海量的天才们死伤无数脑细胞，呵呵。
素数虽然看上去很数学很枯燥，实际上上大伙儿每天都间接和它们打交道，从军事通信、电脑密码、比特币以及其它加密货币，其核心内容之一就是素数。
ii） 互素。给定两个自然数a、b，如果它们的最大公约数是1，那么这两个数称为互素，例如 （3，4）。显然，给定一个素数 p，它会和任何自然数互素，除非这个数是 p 的倍数。例如 5 是个素数，它会和除了 5，10，15，20，25...之外的所有数互素。咱们等下闲侃蝉时会要用到这个结论。
iii) 最大公约数 & 最小公倍数：给广大诗人和作家出个简单的初等数学题（脑袋得经常锻炼一下，以保证它不至于莫名其妙地生锈，呵呵）： 给定两个自然数 a、b，沿用华老的记号，用（a，b） 表示其最大公约数，【a，b】表示其最小公倍数，请证明：
ab = （a，b）【a，b】
例如如果 a=10 （天干数），b=12（地支数），那么 （a,b)=2, 【a，b】=60, 一个甲子轮回等于 60 年，亦即 10 和 12 的最小公倍数。例如以往的几个庚子年，中华民族都历经了巨大的磨难：1840年中英鸦片战争，1900年慈禧太后利用刀枪不入的义和拳侠客们攻打外国使馆，将使馆的洋呆子们打得满地找牙，尽管导致的庚子赔款和辛丑条约；1960年的自然灾害，2020 年于武汉爆发的新冠病毒，等等。
1）
说起蝉，也就是北方口语中的“知了”，估计这里所有的同学都不会陌生，包括俺在内。俺老家长沙方言中，蝉又叫做“悬梁子”（谐音，至于如何写，俺却是不知道）。刚才仔细地想了想，俺确信俺见过在树上鸣叫的蝉，也见过蝉从若虫褪去的壳，只是从地洞里爬出来的若虫却是没有见过，颇为遗憾。
湖南夏天天气热，夏天听到蝉鸣那是常事；不过在帝都数年，俺记忆中是没有听到过蝉鸣声，不知北京郊外到底有没有蝉？以前忙于学业功课，足迹很少出海淀镇。
因为在湖南每年都能听到蝉鸣声，所以以前就自然而然地认为，蝉每年都会从地洞里爬出来，然后蜕变成蝉；后来才发现不是这么回事。在从地洞里爬出来之前，蝉的若虫得在地洞里呆上几年（通常是 2-4年，各地的情况会有所差别）；“成年”后，蝉通常会有几周的寿命，雄蝉会发出鸣叫声以求偶，然后死去；雌蝉甚至不能鸣叫，产卵后也会随即死去。据说有些淘气的男孩子会用网兜或者贴有胶带纸的长竹竿在树上网鸣蝉来当玩具，呵呵。
2）
正因为如此，多愁善感的古人们通常会对蝉寄予无限的同情。从古到今，诗人们对蝉基本上是赞美，尽管蝉鸣实在是令人讨厌。在湖南，如果一清早就听到蝉鸣，那么那天最高温度很可能会有个三十八九度，你说烦不烦。但人类作为灵长目动物，终究属于群居的，因此对弱者的同情和呵护，就是一种美德，因为同情保护弱者实际上也是对群体中的个体（例如咱们自己）的一种保护。诗人们对蝉寄予同情之余还会将自己代入其中，然后升华：例如“蝉蜕尘埃外，蝶梦水云乡”。例如唐虞世南有云：
垂緌饮清露，流响出疏桐。
居高声自远，非是藉秋风。
蝉儿悲鸣饮露，不输不食人间烟火的高人隐士，从中足可以看出蝉的品行高洁，“咏蝉者每咏其声，此独尊其品格”，是也不是？如果时序到了初秋，即使刚蜕变的蝉儿也会时日无多，所以蝉鸣会显得更加凄切悲凉。这时多愁善感的诗人们如果还无意间喝了烈酒，他们往往会将自己代入其中，胡思乱想起人生苦短，于是不禁悲从中来，潸然泪下，呵呵。这个世界最莫名其妙的就是痴人，你笑他痴，他却萌萌的，于是乎自己反而显得呆了。
柳永@《雨霖铃》：“寒蝉凄切，对长亭晚，骤雨初歇。”
朱熹@《宿寺闻蝉作》：“树叶经夏暗，蝉声今夕闻。已惊为客意，更值夕阳薰。”
李商隐：“本以高难饱，徒劳恨费声。五更疏欲断，一树碧无情。”
陈子昂@《感遇诗三十六首之其十二》：“玄蝉号白露，兹岁已蹉跎。群物从大化，孤英将奈何。”
蝉不仅在诗人们笔下有崇高的地位，在王侯将相达官贵人眼中也莫不如此。古代达官贵人们下葬时，往往要“含饭纳贝”，以保证或者希望死者来生有饭吃有钱用（贝就是贝壳，远古时代算是一种钱币）。后来到了汉代，对有钱人而言，贝就换成了玉，王爷们通常有金缕玉衣（例如中山靖王刘胜），王后穿银缕玉衣，王子们穿铜缕玉衣，等等。古人认为，“金玉在九窍，则死人为不朽”，所以他们嘴里通常会含一个玉蝉，以示永生和不朽。这种含在嘴里的玉蝉称为“琀蝉“。金玉之所以做成蝉的形状，就是和蝉的生活习性相关的，因为蝉卵和若虫要在地下呆上几年方能长大。
3）
蝉要在地下呆上数年，方能在阳光下“享受”几周的生活。不同的品种的蝉，在地底下呆的年数是不一样的，大部分会呆个 2～4年。最长的会呆上 13 年甚至 17 年，呵呵。不过在地底下呆上 13 或者 17 年的蝉，都分布在北美，而今年恰好是 17 年蝉破土而出的一年。在郊外一走，你留意脚下，往往会有密密麻麻的蝉洞；而树干树枝树叶上往往是无数的蝉壳；天黑后，无数的若虫会从洞里倾巢而出，然后各自脱壳，密密麻麻的若虫们表演“金蝉脱壳”，实在是难得一见的独特风景。有喜欢美食的，将这种刚刚蜕壳的嫩蝉捉起来，很快就是几十一百个的，捞回家油炸，据说好吃得不得了，呵呵。只是俺有点儿挑食，对这种油炸蝉宝宝那是敬而远之。
13、17 年？hmm，13 和 17 这两个数有啥特别的吗？很明显，它们都是素数对不对？回头看看 0），像 17 这样的素数和所有的数（除非是 17 的倍数）都是互素的。这种蝉之所以在地下潜伏漫长的17年，是因为自然选择的结果（这也就是达尔文的自然选择论），这是因为以前（几百万年前），据说蝉在北美的生存环境特别恶劣，气候寒冷倒是次要的，主要是蝉有海量的天敌威胁其生存，这种在地下潜伏年数是素数的蝉就会有更小的几率遇到其天敌。举例而言，假设其天敌的活动周期是4年，那么
a）如果蝉在地下潜伏 2、3 或者 4 年（大部分蝉的周期），那么蝉会有 1/4 或者 1/12 或者 1/4 的可能性赶上其天敌活动的年份；
b）如果蝉在地下潜伏 17 年，因为 17 是素数，和 4 互素，4和17的最小公倍数是 68，所以它只有 1/68 的可能性赶上其天敌活动的年份，这就大大减少了它们被天敌捕食以致绝种的可能性。
4）
上图片！这种就是 17 年蝉，半年前某个周末手机拍的。俺肯定俺在湖南见过蝉，但没见过若虫。这是我第一次见到从地洞里爬出来的若虫，呵呵。成年蝉，怎么都觉得比祖国的蝉小大半个圈：）
04-22-礼拜五：挂在树枝和树叶上的蝉壳
04-22-礼拜五：吹落到地上的蝉壳
04-22-礼拜五：俺种的芍药花瓣上的蝉
04-22-礼拜五晚：天黑后，蝉宝宝们从地洞里倾巢而出，那场面很壮观。俺摘了几片树叶，在门廊前仔细观察“金蝉脱壳”。通常若虫在几分钟之内就能将壳蜕去。
04-22-礼拜五晚：金蝉脱壳
04-22-礼拜五晚：金蝉脱壳
04-23，礼拜六早上：蝴蝶草上的蝉。这个应该是“昨晚”在门廊地板上的那几个蝉中的一个。
再贴几个一周后拍的图片：
树上的蝉 （最后这个图片是小灌木）
原以为蝉脱壳都是在晚间进行的，实际上白天一样可以，只不过白天远不及晚上那么多而已。楼上两个图就是下午大约三点拍的，我发现很有一些若虫在脱壳。将正在脱壳的蝉所在的树叶摘下来，放在公园条形凳上观看它脱壳，其实蛮有趣的。
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